Олимпиадные задачи из источника «2015-2016» для 8 класса - сложность 3 с решениями
2015-2016
НазадСумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i>³</sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³<i>b</i><sup>3</sup><i>c</i>³<i>d</i>³</sub>.
Окружность ω вписана в треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>AB < AC</i>. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Точка <i>X</i> выбирается на отрезке <i>A'A</i> так, что отрезок <i>A'X</i> не пересекает ω. Касательные, проведённые из <i>X</i> к ω, пересекают отрезок <i>BC</i> в точках <i>Y</i> и <i>Z</i>. Докажите, что сумма <i>XY + XZ</i> не зависит от выбора точки <i>X</i>.
Квадрат разбит на <i>n</i>² ≥ 4 прямоугольников 2(<i>n</i> – 1) прямыми, из которых <i>n</i> – 1 параллельны одной стороне квадрата, а остальные <i>n</i> – 1 – другой. Докажите, что можно выбрать 2<i>n</i> прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).
Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида <b>Т</b> – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)
Саша выбрал натуральное число <i>N</i> > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: <i>d</i><sub>1</sub> < ... < <i>d<sub>s</sub></i> (так что <i>d</i><sub>1</sub> = 1 и
<i>d<sub>s</sub></i> = <i>N</i>). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных <i>s</i> – 1 чисел оказалась равной
<i>N</i> – 2. Какие значения могло принимать <i>N</i>?
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых <i>a + b</i> лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.