Олимпиадные задачи из источника «2015-2016» для 2-8 класса - сложность 1-2 с решениями

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> выбрана на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AC</i>.

Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников <i>APD</i> и <i>BQD</i>, параллельна прямой <i>AD</i>.

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера ¹/_<i>a</i>×¹/_<i>b</i>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и  ^<i>a</i>/_<i>c</i>×<i>b</i>  (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...