Олимпиадные задачи из источника «2012-2013» для 4-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Фигура <i>мамонт</i> бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что при каждом нечётном  <i>n</i> > 100  число  20^<i>n</i> + 13^<i>n</i>  делится на <i>k</i>.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_<i>x</i>, ω_<i>y</i>, ω_<i>z</i> радиусов <i>r_x, r_y, r_z</i> лежат по одну сторону от прямой <i>t</i> и касаются её в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Известно, что <i>Y</i> – середина отрезка <i>XZ</i>,  <i>r_x = r_z = r</i>,  а  <i>r_y > r</i>.  Пусть <i>p</i> – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_<i>x</i> и ω_<i>y</i>, а <i&g...

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Пусть <i>P</i> и <i>Q</i> – середины меньшей и большей дуг <i>AC</i> окружности Ω, соответственно, а <i>M</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>Q</i> на отрезок <i>AB</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BMC</i> делит пополам отрезок <i>BP</i>.

На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём <i> расстоянием</i> между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем <i>n</i> можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на <i>n</i>, увеличилось?

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, <i>a</i> и <i>b</i>, и одна внутренняя, <i>c</i>. Прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> касаются окружности ω₁ в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников <i>A</i>₁<i>B</i&gt...

Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃, ...  так, чтобы при любом натуральном <i>k</i> сумма всех чисел, входящих в подмножество <i>A_k</i>, равнялась  <i>k</i> + 2013?

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

В клетках доски 8×8 расставлены числа 1 и –1 (в каждой клетке – по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения фигурки <img align="middle" src="/storage/problem-media/116938/problem_116938_img_2.gif"> на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение <i> неудачным</i>, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ соответственно. Описанные окружности треугольников <i>BB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>CC</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются в точках <i>P&lt...