Олимпиадные задачи из источника «2008-2009» для 11 класса - сложность 3 с решениями
2008-2009
НазадПо кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?
Даны натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном <i>n</i> число <i>x</i><sup>2<i><sup>n</sup></i></sup> + <i>y</i><sup>2<i><sup>n</sup></i></sup> – составное.
Сколько раз функция <i>f</i>(<i>x</i>) = cos <i>x</i> cos <sup><i>x</i></sup>/<sub>2</sub> cos <sup><i>x</i></sup>/<sub>3</sub> ... cos <sup><i>x</i></sup>/<sub>2009</sub> меняет знак на отрезке [0, <sup>2009π</sup>/<sub>2</sub>] ?
Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых отличных от нуля действительных числах <i>a, b, c, d</i> многочлен (<i>ax + b</i>)<sup>1000</sup> – (<i>cx + d</i>)<sup>1000</sup> после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно <i>n</i> ненулевых коэффициентов.
В некоторых клетках доски 10×10 поставили <i>k</i> ладей, и затем отметили все клетки, которые бьёт хотя бы одна ладья (ладья бьёт и клетку, на которой стоит). При каком наибольшем <i>k</i> может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?
Пусть1<i><a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> b<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif"> c </i>. Докажите, что <center><i>
log <sub>a</sub> b+log <sub>b</sub> c+log <sub>c</sub> a<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115400/problem_115400_img_2.gif">log <sub>b</sub> a+log <sub>c</sub> b+log <sub>a</sub> c.
</i></center>
В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.