Олимпиадные задачи из источника «2002-2003» для 6-8 класса - сложность 4 с решениями

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  <i>m, n</i> > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на  <i>m + n</i>?

Найдите наибольшее натуральное число <i>N</i>, для которого при произвольной расстановке различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20×20 найдутся два числа, стоящих в одной строке или одном столбце, разность которых будет не меньше <i>N</i>.

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

На диагонали <i>AC</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой  <i>KD = DC</i>, ∠<i>BAC</i> = ½ <i>KDC</i>,  ∠<i>DAC</i> = ½ ∠<i>KBC</i>.

Докажите, что  ∠<i>KDA</i> = ∠<i>BCA</i>  или  ∠<i>KDA</i> = ∠<i>KBA</i>.