Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)
Найдите все <i>x</i>, при которых уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + 2<i>xyz</i> = 1 (относительно <i>z</i>) имеет действительное решение при любом <i>y</i>.
Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.
Дан тетраэдр<i>ABCD</i>. Вписанная в него сфера σ касается грани<i>ABC</i>в точке<i>T</i>. Сфера σ' касается грани<i>ABC</i>в точке<i>T'</i>и продолжений граней<i>ABD, BCD, CAD</i>. Докажите, что прямые<i>AT</i>и<i>AT'</i>симметричны относительно биссектрисы угла<i>BAC</i>.
Квадратные трёхчлены <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>cx + d</i> таковы, что уравнение <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>Q</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) не имеет действительных корней.
Докажите, что <i>b ≠ d </i>.
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i> и <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i><sup>6</sup> определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.
Докажите, что функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif"> также возрастает при всех положительных <i>x</i>.