Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями
В компании из 2<i>n</i> + 1 человека для любых <i>n</i> человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.
Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
На прямой выбрано 100 множеств<i> A<sub>1</sub>, </i><i> A<sub>2</sub>, </i><i> .. , </i><i> A</i>100, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств<i> A<sub>1</sub>, </i><i> A<sub>2</sub>, </i><i> .. , </i><i> A</i>100является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
На большей стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>N</i> так, что серединные перпендикуляры к отрезкам <i>AN</i> и <i>NC</i> пересекают стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>KBM</i>.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i> так, что середина стороны <i>AD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>C</i>, а середина стороны <i>CD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>A</i>. Точка <i>N</i> – середина отрезка <i>BK</i>. Докажите, что углы <i>NAK</i> и <i>NCK</i> равны.