Олимпиадные задачи из источника «1998-1999» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: <i>A</i> из двух чисел и <i>B</i> из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе <i> B </i> была равна произведению чисел в группе <i>A</i>.

По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до<i> N </i>,<i> N<img src="/storage/problem-media/110009/problem_110009_img_2.gif"></i>2. При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение<i> N </i>.

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

В числе<i> A </i>цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа9<i>· A </i>?

Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>A</i>₁ симметрична вершине <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>, а точка <i>C</i>₁ симметрична вершине <i>C</i> относительно прямой <i>AB</i>.

Докажите, что если точки <i>A</i>₁, <i>B</i> и <i>C</i>₁ лежат на одной прямой и  <i>C</i>₁<i>B</i> = 2<i>A</i>₁<i>B</i>,  то угол <i>CA</i>₁<i>B</i> – прямой.