Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 4-9 класса - сложность 2 с решениями

Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.). <div align="center"> <img src="/storage/problem-media/109877/problem_109877_img_2.gif"> </div>Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

Докажите, что для любых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109871/problem_109871_img_2.gif">

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что  НОК(<i>m, n</i>) + НОД(<i>m, n</i>) = <i>m + n</i>.  Докажите, что одно из чисел <i>m</i> или <i>n</i> делится на другое.