Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>2</sub> </i>,<i> D<sub>1</sub> </i>и<i> D<sub>2</sub> </i>960. Докажите, что если<i> A<sub>1</sub>B<sub>2</sub>=B<sub>1</sub>C<sub>2</sub>=C<sub>1</sub>D<sub>2</sub>=D<sub>1</sub>A<sub>2</sub> </i>, то четырехугольник, образованный прямыми<i> A<sub>1</sub...
Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>. Докажите, что число <i>x + y + z</i> делится на 27.
Натуральное число <i>n</i> таково, что числа 2<i>n</i> + 1 и 3<i>n</i> + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5<i>n</i> + 3 быть простым?