Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 5-7 класса
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>. Докажите, что число <i>x + y + z</i> делится на 27.
Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.
Натуральное число <i>n</i> таково, что числа 2<i>n</i> + 1 и 3<i>n</i> + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5<i>n</i> + 3 быть простым?
Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.