Олимпиадные задачи из источника «44 (2021), математика» для 8 класса

Найдите трехзначное число, которое представимо в виде суммы и двух, и трех, и четырех, и пяти, и шести квадратов различных натуральных чисел. Достаточно привести один пример.

Никита нарисовал и закрасил выпуклый пятиугольник с периметром $20$ и площадью $21$. Таня закрасила все точки, находящиеся на расстоянии не более $1$ от закрашенных Никитой (см. рис.). На сколько увеличилась закрашенная площадь? Ответ округлите до сотых.<img src="/storage/problem-media/66765/problem_66765_img_2.png">

Несократимая дробь $\frac{a}{b}$ такова, что $$ \frac{a}{b}=\frac{999}{1999}+\frac{999}{1999}\cdot \frac{998}{1998}+\frac{999}{1999}\cdot\frac{998}{1998}\cdot \frac{997}{1997}+\ldots + \frac{999}{1999}\cdot \frac{998}{1998}\cdot \ldots \cdot \frac{1}{1001}. $$ Найдите $a$ и $b$.

У золотоискателя есть куча золотого песка массой 37 кг (и больше песка у него нет), двуxчашечные весы и две гири 1 и 2 кг. Золотоискатель умеет делать действия двух типов:<list> <li> <i>уравнивать весы</i>, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может пересыпать часть песка с одной чаши на другую так, чтобы весы встали в равновесие; </li> <li> <i>досыпать до равновесия</i>, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может добавить песка на одну из чаш так, чтобы весы встали в равновесие. </li> </list> Конечно, каждое из этих действий он может сделать только если для этого у него хватает песка. Как ему за два действия с весами получить кучку, в которой ровно 26 кг песка? Смешать две кучки песка, а также просто ставить чт...

Петя написал стозначное число $X$, в записи которого нет нулей. Пятидесятизначное число, образованное первыми пятьюдесятью цифрами числа $X$, Петя назвал<i>головой числа $X$</i>. Оказалось, что число $X$ без остатка делится на свою голову. Сколько нулей в записи частного?

Вставьте вместо каждой звездочки цифру так, чтобы произведение трех десятичных дробей равнялось натуральному числу. Использовать ноль нельзя, зато остальные цифры могут повторяться. $${\ast}{,}{\ast} \cdot {\ast}{,}{\ast} \cdot {\ast}{,}{\ast} = {\ast}$$