Объясним, как можно найти один из примеров. Когда свобода выбора слишком велика, бывает полезно наложить дополнительное условие. Будем искать пример, в котором пример на $k$ квадратов получается из примера на $k+1$ квадрат заменой суммы двух квадратов на другой квадрат. В этом нам помогутпифагоровы тройки. Одна из них хорошо известна: $3^2+4^2=5^2$. Т.е. если у нас в представлении числа есть $3^2+4^2$, то мы можем заменить эту сумму на $5^2$ и количество квадратов в представлении уменьшится на один. Заметим, что есть еще пифагорова тройка, содержащая $5$: это $5$, $12$, $13$. Т.е. $3^2+4^2+12^2$ можно вначале поменять на $5^2+12^2$, а потом на $13^2$.

Можно было бы продолжать похожий процесс: есть пифагорова тройка, в которую входит 13: $13^2+84^2=85^2$. Однако $84^2$ это уже четырехзначное число. Вместо этого домножим уже имеющийся у нас пример на $2^2$: $6^2+8^2+24^2=10^2+24^2=26^2$. Теперь понятно, что нам подходит число $(3^2+4^2+12^2)+(6^2+8^2+24^2)=845$.

Например, подойдет $$ 845 = 3^2+4^2+12^2+6^2+8^2+24^2 = 5^2+12^2+6^2+8^2+24^2 = 13^2+6^2+8^2+24^2 = 13^2+10^2+24^2 = 13^2+26^2.$$