Олимпиадные задачи из источника «31 (2008), математика»

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.

Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле(<i>a+c</i>)(<i>b+d</i>)<i>/</i>4, где<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i> — длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.

Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить <i>N</i> дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает): <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111639/problem_111639_img_2.gif"></div>Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались? Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

Мальвина дала Буратино задание: "Сосчитай кляксы в своей тетрадке, прибавь к их числу 7, раздели на 8, умножь на 6 и отними 9. Если сделаешь всё правильно, получишь простое число". Буратино всё перепутал. Кляксы он подсчитал точно, но потом умножил их количество на 7, вычел из результата 8, затем разделил на 6 и прибавил 9. Какой ответ получился у Буратино?

Петя разрезал фигуру на две равные части, как показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные части другим способом.

<center><i> <img src="/storage/problem-media/111637/problem_111637_img_2.gif"> </i></center>

Танины часы отстают за каждый час на 5 минут. В полдень к Тане придут гости. Сейчас 6 часов утра. На какое время ей надо поставить стрелки часов, чтобы в полдень часы показывали правильное время?