Олимпиадные задачи из источника «23 (2000), математика» для 4-11 класса - сложность 2 с решениями

Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?

Из точки<i>M</i>внутри четырёхугольника<i>ABCD</i>опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне<i>AB</i>— через<i>X</i>, лежащее на стороне<i>BC</i>— через<i>Y</i>, лежащее на стороне<i>CD</i>— через<i>Z</i>, лежащее на стороне<i>DA</i>— через<i>T</i>. Известно, что<i>AX</i>≥<i>XB</i>,<i>BY</i>≥<i>YC</i>,<i>CZ</i>≥<i>ZD</i>,<i>DT</i>≥<i>TA</i>. Докажите, что вокруг четырёхугольника<i>ABCD</i>можно описать окружность.

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.