Олимпиадная задача по планиметрии: описание окружности вокруг четырёхугольника
Задача
Из точкиMвнутри четырёхугольникаABCDопущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на сторонеAB— черезX, лежащее на сторонеBC— черезY, лежащее на сторонеCD— черезZ, лежащее на сторонеDA— черезT. Известно, чтоAX≥XB,BY≥YC,CZ≥ZD,DT≥TA. Докажите, что вокруг четырёхугольникаABCDможно описать окружность.
Решение
Из условияAX≥XBследуетAM≥MB. Действительно, в двух треугольникахAMXиBMXс общим катетом гипотенуза длиннее у того, у которого длиннее второй катет. Аналогично получаемBM≥MC,CM≥MD,DM≥MA. Это возможно только если во всех четырёх неравенствах выполняется равенство:MA=MB=MC=MD. Значит,M— центр описанной вокруг четырёхугольникаABCDокружности, что и доказывает требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь