Олимпиадные задачи из источника «14 (1991)»

В лес за грибами пошли 11 девочек и <i>n</i> мальчиков. Вместе они собрали  <i>n</i>² + 9<i>n</i> – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.

Кого было больше: мальчиков или девочек?

Докажите, что

<img align="middle" src="/storage/problem-media/98103/problem_98103_img_2.gif">

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

Шеренга солдат называется <i>неправильной</i>, если никакие три подряд стоящих солдата не стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных шеренг можно построить из <i>n</i> солдат разного роста, если   а)  <i>n</i> = 4;   б)  <i>n</i> = 5?

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что<img align="middle" src="/storage/problem-media/32131/problem_32131_img_2.gif">,. Докажите, что угол C — тупой.

Через центр окружности  ω _{<font size="-2">1</font>}проведена окружность  ω _{<font size="-2">2</font>}; A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности  ω _{<font size="-2">2</font>}в точке B пересекает окружность  ω _{<font size="-2">1</font>}в точке C. Докажите, что AB = BC.

По окружности стоит 6 чисел; каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1.a) Найдите набор чисел, удовлетворяющий данному условию.б) Сколько различных таких наборов существует? Решения, получающиеся друг из друга поворотом окружности, считаются одинаковыми.

На плоскости отмечены четыре точки. Докажите, что их можно разбить на две группы так, что эти группы точек нельзя будет отделить одну от другой никакой прямой.