Олимпиадные задачи из источника «10 (1987)» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.

Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?

Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо 37 шагов влево, либо 47 шагов вправо.

За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа. Докажите, что если  <i>a</i>² + 9<i>ab + b</i>²  делится на 11, то и  <i>a</i>² – <i>b</i>²  делится на 11.

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.

Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?

Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.