Олимпиадные задачи из источника «10 (1987)» для 7-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников больше площади пятиугольника.

Докажите, что существует число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.

Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: <i>m, n</i> и 0, причём <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей и  <i>m < n</i>.  Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить

  а) единицу;

  б) любое целое число от 1 до <i>n</i>.

В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них?

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?