Олимпиадные задачи из источника «06 (1983)» для 8-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Две окружности пересекаются прямой <i>l</i>, как указано на рисунке. Докажите, что угол  ∠<i>ABC</i> = ∠<i>DEM</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/32034/problem_32034_img_2.gif"></div>

На центральном телеграфе стоят разменные автоматы, которые меняют 20 коп. на 15, 2, 2 и 1; 15 коп. на 10, 2, 2 и 1; 10 коп. на 3, 3, 2 и 2. Петя разменял 1 руб. 25 коп. серебром на медь. Вася, посмотрев на результат, сказал: "Я точно знаю, какие у тебя были монеты" и назвал их. Назовите и вы.

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.

Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:

  1) на поле e4 пешку ставить нельзя;

  2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4?

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число <i>m</i> хорошее, то и число  <i>m</i> + 6  тоже хорошее, а если число <i>n</i> плохое, то и число  <i>n</i> + 15  тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?