Олимпиадные задачи из источника «9 турнир (1987/1988 год)» для 3-7 класса - сложность 2 с решениями

<i>a, b</i> и <i>c</i> – целые числа. Докажите, что если  <i>a = b + c</i>,  то  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.

Можно ли подобрать такие два натуральных числа <i>X</i> и <i>Y</i>, что <i>Y</i> получается из <i>X</i> перестановкой цифр, и  <i>X + Y</i> = 9...9  (1111 девяток)?

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?

  б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.