Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, 9-10 класс» для 3-11 класса - сложность 3-4 с решениями

В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.

30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,

  а) четырёх вечеров недостаточно,

  б) пяти вечеров также недостаточно,

  в) а десяти вечеров достаточно,

  г) и даже семи вечеров тоже достаточно.

Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел  <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ <i>a</i>₃ ≥ ... ≥ <i>a</i>_2<i>k</i>+1 ≥ 0.

Докажите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97905/problem_97905_img_2.gif">

Функция <i>F</i> задана на всей вещественной оси, причём для любого <i>x</i> имеет место равенство:  <i>F</i>(<i>x</i> + 1)<i>F</i>(<i>x</i>) + <i>F</i>(<i>x</i> + 1) + 1 = 0.

Докажите, что функция <i>F</i> не может быть непрерывной.