Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, 9-10 класс» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
весенний тур, 9-10 класс
НазадДана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ <i>a</i><sub>3</sub> ≥ ... ≥ <i>a</i><sub>2<i>k</i>+1</sub> ≥ 0.
Докажите неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97905/problem_97905_img_2.gif">
Функция <i>F</i> задана на всей вещественной оси, причём для любого <i>x</i> имеет место равенство: <i>F</i>(<i>x</i> + 1)<i>F</i>(<i>x</i>) + <i>F</i>(<i>x</i> + 1) + 1 = 0.
Докажите, что функция <i>F</i> не может быть непрерывной.
На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?
При каком натуральном <i>K</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif"> достигает максимального значения?