Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс» - сложность 1-2 с решениями

Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.

Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Существуют ли нецелые числа <i>x</i> и <i>y</i>, для которых  {<i>x</i>}{<i>y</i>} = {<i>x + y</i>}?