Олимпиадные задачи из источника «37 турнир (2015/2016 год)» для 4-7 класса

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

В квадрате 10×10 все клетки левого верхнего квадрата 5×5 закрашены чёрным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике чёрных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.)

Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016?

По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?

Из целых чисел от 1 до 100 удалили <i>k</i> чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать <i>k</i> различных чисел с суммой 100, если

  а)  <i>k</i> = 9;   б)  <i>k</i> = 8?

Будем называть клетчатый многоугольник <i>выдающимся</i>, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65461/problem_65461_img_2.gif"></div>  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.   б) При каких  <i>n</i>> 4  существует выдающийся многоугольник из<i>n</i>клеток?

Верно ли, что любое натуральное число можно умножить на одно из чисел 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы результат начинался на цифру 1?