Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс»
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
НазадНа сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить<i>N</i>кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях: а) <i>N</i>= 3; б) <i>N</i>= 4.
а) Есть неограниченный набор карточек со словами "<i>abc</i>", "<i>bca</i>", "<i>cab</i>". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром? б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "<i>abc</i>", "<i>bca</i>", "<i>cab</i>" и синих карточек со словами "<i>cba</i>", "<i>acb</i>", "<i>bac</i>". Из них по тем же правилам составили палиндром...
На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена <i>f</i> и <i>g</i> и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени <i>f</i><sub>1</sub> и <i>g</i><sub>1</sub>, что <i>f + g = f</i><sub>1</sub> + <i>g</i><sub>1</sub> или <i>fg = f</i><sub>1</sub><i>g</i><sub>1</sub>. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.
В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Можно выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Нужно узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.
Пусть <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> отмечены соответственно точки <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>AE ≠ CF</i> и
∠<i>FMC</i> = ∠<i>MEF</i> = α. Найдите ∠<i>AEM</i>.
Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65727/problem_65727_img_2.gif">
На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.