Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 5-8 класса - сложность 3-5 с решениями

Внутри окружности расположен равносторонний <i>N</i>-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2<i>N</i> полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.

а) В таблицу 2×<i>n</i> (где  <i>n</i> > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.

б) В таблицу 10×10 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Каждая сторона некоторого многоугольника обладает таким свойством: на прямой, содержащей эту сторону, лежит ещё хотя бы одна вершина многоугольника. Может ли число вершин этого многоугольника

  а) не превосходить девяти;

  б) не превосходить восьми?

а) Натуральные числа <i>x, x</i>² и <i>x</i>³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?

б) Тот же вопрос для натуральных чисел <i>x, x</i>², <i>x</i>³, ..., <i>x</i>²⁰¹⁵.