Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс»
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
НазадВ некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину на золото по курсу, который определяется натуральными числами <i>g</i> и <i>p</i> так: <i>x</i> граммов золотого песка равноценны <i>y</i> граммам платинового, если <i>xp = yg</i> (числа <i>x</i> и <i>y</i> могут быть нецелыми). Сейчас у банкира есть по килограмму золотого и платинового песка, а <i>g = p</i> = 1001. Государство обещает каждый день уменьшать одно из чисел <i>g</i> и <i>p</i> на единицу, так что через 2000 дней они оба станут единицами; но последовательность уменьшений неизвестна. Может ли банкир каждый день менять песок так, чтобы в конце гарантиров...
На столе лежал проволочный треугольник с углами <i>x</i>°, <i>y</i>°, <i>z</i>°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами (<i>x</i> – 1)°, 181°, (<i>y</i> – 1)°, 181°, (<i>z</i> – 1)°, 181°. Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.
Петя подсчитал количество всех возможных <i>m</i>-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2<i>m</i>-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, CA, AB</i>в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Прямые <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i> пересекаются в точке <i>G</i>. Описанная окружность треугольника <i>GA'B'</i>, вторично пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C<sub>A</sub></i> и <i>C<sub>B</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>A<sub>B</sub>, A<sub>C</sub>, B<sub>C</sub>, B<sub>A</sub></i>. Докажите, что точки <i>A<sub>B</sub>, A<sub>C</sub>, B<sub>C</sub>...
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру <i>k</i> раз, и все <i>k</i> раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение <i>k</i>.
На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.