Задача
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Решение
Оценка. Пусть записаны числа a1, a2, ..., a100. Положим bi = ai – a1. Многочлен сотой степени P(x) = x(x + b2)...(x + b100) не может принимать одно значение более 100 раз. Но по условию он принимает одно и то же значение в точках a1, a1 + 1, a1 + 2, ..., a1 + k. Следовательно, k ≤ 99.
Пример. Пусть записаны числа –99, –98, ..., – 1, 0. Тогда при прибавлении к ним от одной до 99 единиц произведение полученных чисел равно нулю.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь