Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» - сложность 3 с решениями

Существуют ли такие две функции  <i>f</i> и <i>g</i>, принимающие только целые значения, что для любого целого <i>x</i> выполнены соотношения:

  а)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x,  g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = <i>x,   f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) > <i>x</i>?

  б)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) < <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) < <i>x</i>,   <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x&...

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Дан правильный треугольник <i>ABC</i> с центром <i>O</i>. Прямая, проходящая через вершину <i>C</i>, пересекает описанную окружность треугольника <i>AOB</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Докажите, что точки <i>A, O</i> и середины отрезков <i>BD, BE</i> лежат на одной окружности.

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?