Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» - сложность 2-3 с решениями

Из гирек весами 1 г, 2 г, ..., <i>N</i> г требуется выбрать несколько (больше одной) с суммарным весом, равным среднему весу оставшихся гирек. Докажите, что

  а) это можно сделать, если  <i>N</i> + 1  – квадрат целого числа.

  б) если это можно сделать, то  <i>N</i> + 1  – квадрат целого числа.

На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что  <i>BP = CQ</i>.

Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>APQ</i> лежит на диагонали <i>BD</i> ромба.

Найдите все такие натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  (<i>a + b</i>²)(<i>b + a</i>²)  является целой степенью двойки.

У Миши есть 1000 одинаковых кубиков, у каждого из которых одна пара противоположных граней белая, вторая – синяя, третья – красная. Он собрал из них большой куб 10×10×10, прикладывая кубики друг к другу одноцветными гранями. Докажите, что у большого куба есть одноцветная грань.