Олимпиадная задача по теории чисел: найдите a и b, чтобы (a + b²)(b + a²) — это степень двойки

Решение 1:   Каждая скобка является степенью двойки. Поэтому числа a и b одной чётности. Можно считать, что  a ≥ b.  Разберём два случая.

  1)  a = b.  Тогда  a² + a = a(a + 1)  – степень двойки. Числа a и  a + 1  – степени двойки разной четности, следовательно,  a = 1.

  2)  a > b.  Тогда  a² + b = 2^m > b² + a = 2ⁿ.  Имеем   (2^m–n – 1)·2ⁿ = a² – b² + b – a = (a – b)(a + b – 1).   a – b  чётно, а  a + b – 1  нечётно, следовательно,

a – b = 2ⁿ = a + b².  Противоречие.

Решение 2:   Пусть  a = 2^km,  b = 2^ln,  где m и n нечётны. Можно считать, что  k ≥ l.  Тогда   a² + b = 2^2km² + 2^ln = 2^l(2^2k–lm² + n).   Последняя скобка чётна только при  2k – l = 0,  то есть при  k = l = 0.  Итак, a и b нечётны.

  Значит,  a + 1 = 2^pr,  b + 1 = 2^qs,  где r и s нечётны,  p ≥ 1,  q ≥ 1.  Можно считать, что  p ≥ q.  Нетрудно убедиться, что

a² + b = 2^2pr² – 2^p+1r + 2^qs = 2^q(2^2p–lr² – 2^p–l+1r + s).   Число  2^2p–lr² – 2^p–q+1r + s  нечётно, значит, равно 1. Первый член по модулю не меньше второго, поэтому такое равенство возможно только при  p = r = s = 1.  Но тогда и  q = 1,  то есть  a = b = 1.

a = b = 1.