Олимпиадные задачи из источника «28 турнир (2006/2007 год)» для 11 класса - сложность 2 с решениями

На параболе  <i>y = x</i>²  выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.

Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на <i>k</i>-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа <i>k</i> чётна, и единица, если сумма цифр числа <i>k</i> нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

Прямая касается окружности в точке <i>A</i>. На прямой выбрали точку <i>B</i> и повернули отрезок <i>AB</i> на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок <i>A'B'</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания <i>A</i> и <i>A'</i>, делит пополам отрезок <i>BB'</i>.

Многочлен  <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i>  имеет на интервале  (0, 2)  три корня. Докажите, что  – 2 < <i>p + q + r</i> < 0.

Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)

Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?