Олимпиадные задачи из источника «22 турнир (2000/2001 год)» для 8 класса - сложность 3 с решениями
22 турнир (2000/2001 год)
НазадВ остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH<sub>A</sub>, BH<sub>B</sub></i> и <i>CH<sub>C</sub></i>.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников <i>AH<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, BH<sub>A</sub>H<sub>C</sub></i> и <i>CH<sub>A</sub>H<sub>B</sub></i> равен треугольнику <i>H<sub>A</sub>H<sub>B</sub>H<sub>C</sub></i>.
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника <i>A</i> было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и <i>коэффициент силы</i> по формуле: сумма очков тех участников, у кого <i>A</i> выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
а) На две клетки шахматной доски выставляются чёрная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали. Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
б) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
На доске нарисовали выпуклый многоугольник. В нём провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри него, так что он оказался разбит на треугольники. Затем возле каждой вершины записали число треугольников, примыкающих к этой вершине, после чего все диагонали стерли. Можно ли по оставшимся возле вершин числам восстановить стёртые диагонали?
В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны <i>N</i> было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны <i>N</i>, принявших участие в весеннем туре?
На правой чаше чашечных весов лежит груз массой 11111 г. Весовщик последовательно раскладывает по чашам гири, первая из которых имеет массу 1 г, а каждая последующая вдвое тяжелее предыдущей. В какой-то момент весы оказались в равновесии. На какую чашу поставлена гиря 16 г?
а) Даны 32 одинаковые по виду монеты. Известно, что среди них есть ровно две фальшивые, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу, и фальшивые монеты также равны по весу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь? б) Та же задача для 22 монет.
Даны 32 одинаковые по виду монеты. Известно, что среди них есть ровно две фальшивые, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу, и фальшивые монеты также равны по весу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь?
а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел. б) На доске выписано 100 <i>целых</i> чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.