Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число <i>Q</i> – показатель его умственных способностей (чем больше <i>Q</i>, тем больше способности). За <i>рейтинг</i> страны принимается среднее арифметическое значений <i>Q</i> всех жителей этой страны.

  а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.

  б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?

  в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После э...

Рассматриваются такие наборы действительных чисел  {<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x</i>₂₀},  заключённых между 0 и 1, что  <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃...<i>x</i>₂₀ = (1 – <i>x</i>₁)(1 – <i>x</i>₂)(1 – <i>x</i>₃)...(1 – <i>x</i>₂₀).  Найдите среди этих наборов такой, для которого значение <i>x</i>₁<i>x</i><sub>2<...

На шахматной доске размером 8×8 отметили 17 клеток.

Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню нужно не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.

<i>n</i> бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98412/problem_98412_img_2.gif"></div>

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.