Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.  

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки <i>М</i>, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?

(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)  

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена <i>p</i>(<i>x</i>) степени не выше второй сумма приращений <i>p</i>(<i>x</i>) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений <i>p</i>(<i>x</i>) по всем белым интервалам.

(Приращением многочлена <i>p</i> по отрезку  (<i>a, b</i>)  называется число  <i>p</i>(<i>b</i>) – <i>p</i>(<i>a</i>).) б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?  

При каких <i>n</i> можно раскрасить в три цвета все ребра <i>n</i>-угольной призмы (основания – <i>n</i>-угольники) так, что в каждой вершине сходятся все три цвета и у каждой грани (включая основания) есть стороны всех трёх цветов?  

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)