Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 3-10 класса - сложность 2-4 с решениями

На окружности даны точки <i>K</i> и <i>L</i>. Постройте такой треугольник <i>ABC</i>, что <i>KL</i> является его средней линией, параллельной <i>AB</i>, и при этом точка <i>C</i> и точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i> лежат на данной окружности.

  а) Можно ли расположить пять деревянных кубов в пространстве так, чтобы каждый имел общую часть грани с каждым? (Общая часть должна быть многоугольником.)

  б) Тот же вопрос про шесть кубов.

На доске выписаны числа 1, ½, &frac13;, ..., ¹/₁₀₀. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа <i>a</i> и <i>b</i>, стираем их и пишем на доску число

<i>a + b + ab</i>.  Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Укажите все такие натуральные <i>n</i> и целые неравные друг другу <i>x</i> и <i>y</i>, при которых верно равенство:   <i>x + x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^{2^<i>n</i>} = <i>y + y</i>² + <i>y</i>⁴ + ... + <i>y</i>^{2^<i>n</i>}.