Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 9-10 класс» - сложность 2-3 с решениями

Пусть <i>M</i> – внутренняя точка прямоугольника <i>ABCD</i>, а <i>S</i> – его площадь. Докажите, что <i>S ≤ AM·CM + BM·DM</i>.

В стране 1988 городов и 4000 дорог.

Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).

Числа 1, 2, 3, ..., <i>N</i> записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число <i>i</i>, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  <i>i</i> + 1  и  <i>i</i> – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

Докажите, что  <i>a</i>²<i>pq + b</i>²<i>qr + c</i>²<i>rp</i> ≤ 0,  если <i>a, b, c</i> – стороны треугольника; а <i>p, q, r</i> – любые числа, удовлетворяющие условию  <i>p + q + r</i> = 0.

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы

  1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),

  2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?

Существует ли такое натуральное число <i>M</i>, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на <i>M</i>?