Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 11 класса - сложность 3 с решениями
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
НазадДан неравнобедренный треугольник <i>ABC, AA</i><sub>1</sub> – его биссектриса, <i>A</i><sub>2</sub> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника, <i>I</i> – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub&...
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>K</i> – основание биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. Точка <i>M</i> – середина дуги <i>AC</i> описанной окружности. Точка <i>N</i> выбрана на биссектрисе угла <i>C</i> так, что <i>AN || BM</i>. Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек {<i>i, j, k</i>}, где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>100</sub> с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub>A<sub>k</sub></i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
Пусть <i>M<sub>A</sub>, M<sub>B</sub>, M<sub>C</sub></i> – середины сторон неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точки <i>H<sub>A</sub>, H<sub>B</sub>, H<sub>C</sub></i>, отличные от <i>M<sub>A</sub>, M<sub>B</sub>, M<sub>C</sub></i>, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что <i>M<sub>A</sub>H<sub>B</sub> = M<sub>A</sub>H<sub>C</sub>, M<sub>B</sub>H<sub>A</sub> = M<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, M<sub>C</sub>H<sub>A</sub> = M<sub>C</sub>H<sub>B</sub></i>. Докажите, что <...
Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>L<sub>a</sub>, L<sub>b</sub>, L<sub>c</sub></i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L<sub>a</sub></i> к <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Точка <i>O<sub>a</sub></i> – центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>b</sub>A<sub>c</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите,...