Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 11 класса - сложность 4 с решениями

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда  <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. В угол <i>ADC</i> вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>ACD</i>, а в угол <i>BDC</i> – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>BCD</i>. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка <i>CD</i> в одной и той же точке <i>X</i>. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>X</i> на <i>AB</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Выпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где  <i>n</i> > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.

Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник описанный?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром <i>I</i>, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром <i>J</i>. Докажите, что <i>O</i> – середина отрезка <i>IJ</i>.