Олимпиадные задачи из источника «3 (2011 год)» - сложность 2 с решениями

Выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i> таков, что  <i>AB || CD,  BC || AD,  AC || DE</i>,  <i>CE</i> ⊥ <i>BC</i>.  Докажите, что <i>EC</i> – биссектриса угла <i>BED</i>.

100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 1  найдутся такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a + b = c + d = ab – cd</i> = 4<i>n</i>.

На доске написано число 1. Если на доске написано число <i>а</i>, его можно заменить любым числом вида  <i>a + d</i>,  где <i>d</i> взаимно просто с <i>а</i> и  10 ≤ <i>d</i> ≤ 20.

Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>AD = АВ + CD</i>.  Оказалось, что биссектриса угла <i>А</i> проходит через середину стороны <i>ВС</i>.

Докажите, что биссектриса угла <i>D</i> также проходит через середину <i>ВС</i>.

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.

На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.