Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 2-5 с решениями

На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?

Дана правильная треугольная пирамида <i>SABC</i>, ребро основания которой равно 1. Из вершин <i>A</i> и <i>B</i> основания <i>ABC</i> проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

На экране компьютера – число 12. Каждую секунду число на экране умножают или делят либо на 2, либо на 3. Результат действия возникает на экране вместо записанного числа. Ровно через минуту на экране появилось число. Могло ли это быть число 54?

Для квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) и некоторых действительных чисел <i>l, t</i> и <i>v</i> выполнены равенства:  <i>f</i>(<i>l</i>) = <i>t + v</i>,  <i>f</i>(<i>t</i>) = <i>l + v</i>,  <i>f</i>(<i>v</i>) = <i>l + t</i>.

Докажите, что среди чисел <i>l, t</i> и <i>v</i> есть равные.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 75°, а угол <i>B</i> равен 60°. Вершина <i>M</i> равнобедренного прямоугольного треугольника <i>BCM</i> с гипотенузой <i>BC</i> расположена внутри треугольника <i>ABC</i>. Найдите угол <i>MAC</i>.

Сережа и Миша, гуляя по парку, набрели на поляну, окруженную липами. Сережа пошёл вокруг поляны, считая деревья. Миша сделал то же самое, но начал с другого дерева (хотя пошёл в ту же сторону). Дерево, которое у Сережи было 20-м, у Миши было 7-м, а дерево, которое у Сережи было 7-м, у Миши было 94-м. Сколько деревьев росло вокруг поляны?