Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2 с решениями

Какое наибольшее количество клеток можно отметить на шахматной доске так, чтобы с каждой из них на любую другую отмеченную клетку можно было пройти ровно двумя ходами шахматного коня?

<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, K</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что  <i>CK = CL</i>.  Прямая <i>KL</i> и биссектриса угла <i>B</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Докажите, что  <i>AP = PL</i>.

Незнайка утверждает, что существует восемь таких последовательных натуральных чисел, что в разложение их на простые множители каждый множитель входит в нечётной степени (например, два таких последовательных числа:  23 = 23¹  и  24 = 2³·3¹).  Прав ли он?

В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>AD</i> в четыре раза больше чем <i>BC</i>. Прямая, проходящая через середину диагонали <i>BD</i> и параллельная <i>AB</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение <i>DK</i> : <i>KC</i>.