Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> отмечена такая точка <i>M</i>, что  <i>MC = MD</i>.

Докажите, что  ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

Назовём натуральное семизначное число <i>удачным</i>, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>. Отрезок <i>CK</i> пересекает медиану <i>AM</i> треугольника в точке <i>P</i>. Оказалось, что  <i>AK = AP</i>.

Найдите отношение  <i>BK</i> : <i>PM</i>.

На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">