Олимпиадные задачи из источника «8-9 класс»

Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?

Точки <i>I_A, I_B, I_C</i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>I_A</i> на <i>AC</i>, пересекает перпендикуляр, опущенный из <i>I_B</i> на <i>BC</i>, в точке <i>X_C</i>. Аналогично определяются точки <i>X_A</i> и <i>X_B</i>. Докажите, что прямые <i>I_AX_A, I_BX_B&lt...

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.

Окружность с центром <i>O</i> проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках <i>M</i> и <i>K</i>.

Докажите, что расстояние от точки <i>O</i> до прямой <i>MK</i> равно половине гипотенузы.

В прямоугольнике проведена ломаная, соседние звенья которой перпендикулярны и равны меньшей стороне прямоугольника (см. рис).

Найдите отношение сторон прямоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65642/problem_65642_img_2.png"></div>

В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.

Верно ли, что у него равны стороны?