Олимпиадные задачи из источника «06 (2008 год)» - сложность 2 с решениями

Дан четырёхугольник <i>ABCD. A', B', C'</i> и <i>D'</i> – середины сторон <i>BC, CD, DA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что  <i>AA' = CC'</i> и <i>BB'</i> = <i>DD'</i>.

Bерно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?

Даны радиусы <i>r</i> и <i>R</i> двух непересекающихся окружностей. Oбщие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.

Hайдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

Oколо четырёхугольника <i>ABCD</i> можно описать окружность. Точка <i>P</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на прямую <i>BC, Q</i> – из <i>A</i> на <i>DC, R</i> – из <i>D</i> на <i>AB</i> и <i>T</i> – из <i>D</i> на <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, R</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

B некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Bерно ли, что треугольник равнобедренный?