Олимпиадные задачи из источника «06 (2008 год)» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями

Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причём их периметры одинаковы.

Cуществует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

B треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно  <i>AB + AC</i>.

Дан четырёхугольник <i>ABCD. A', B', C'</i> и <i>D'</i> – середины сторон <i>BC, CD, DA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что  <i>AA' = CC'</i> и <i>BB'</i> = <i>DD'</i>.

Bерно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?

Даны радиусы <i>r</i> и <i>R</i> двух непересекающихся окружностей. Oбщие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.

Hайдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?