Олимпиадные задачи из источника «03 (2005 год)» для 3-10 класса - сложность 3 с решениями

Bнутри треугольника <i>ABC</i> выбрана произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что  <i>MA + MB + MC</i> ≤ max {<i>AB + BC, BC + AC, AC + AB</i>}.

B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.

Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.

Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон треугольника <i>ABC, I</i> – центр вписанной в него окружности, <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>C</i>₁<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>C</i>₃ – точка пересечения прямых <i>CC</i>₂ и <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>IC</i>₃ перпендикулярна прямой <i>AB</i>.

В окружность вписан треугольник <i>ABC</i>. Постройте такую точку <i>P</i>, что точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.