Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 6-9 класса - сложность 3-5 с решениями
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.
В треугольнике <i>АВС</i> проведены медиана <i>АМ</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i>.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника <i>АВС</i>, если <i>AL = t, AH = h</i> и <i>L</i> – середина отрезка <i>MH</i>.
В правильном 21-угольнике шесть вершин покрашены в красный цвет, а семь вершин – в синий.
Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?
Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>M</i> так, что ∠<i>АМС</i> = 150°.
Докажите, что отрезки <i>АМ, ВМ</i> и <i>СМ</i> таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.
Некоторые клетки белого прямоугольника размером 3×7 произвольным образом покрасили в чёрный цвет. Докажите, что обязательно найдутся четыре клетки одного цвета, центры которых являются вершинами некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам исходного прямоугольника.
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что <i>AK = CL</i> и ∠<i>ALK</i> + ∠<i>LKB</i> = 60°.
Докажите, что <i>KL = BC</i>.