Решение 1: При повороте вокруг точки А на угол 60° точка В перейдёт в С, а точка М – в некоторую точку N. При этом  CN = BM  (рис. слева). Кроме того, в треугольнике MAN  AN = AM  и  ∠NAM = 60°,  значит, этот треугольник – равносторонний. Поэтому  ∠СМN = ∠АМС – ∠AMN = 90°,  то есть треугольник СМN – прямоугольный.

  Следовательно,  BM² = CN² = CM² + MN² = CM² + AM².

Решение 2:   Через точку М проведём прямые, параллельные сторонам треугольника ABC, которые пересекут стороны ВС, СА и АВ в точках D, E и F соответственно (рис. справа). Тогда АЕМF, BFMD и CDME – равнобокие трапеции, поэтому  AM = EF,  BM = FD  и  CM = DE.

  Пусть  ∠AEF = ∠AMF = α,  ∠DEC = ∠DMC = β.  Так как  ∠EMD = ∠EMF = 120°,  а  ∠АМС = 150°,  то  α + β = 90°.  Значит,  ∠DEF = 90°.

  Таким образом,  FD² = DE² + EF²,  то есть  BM² = CM² + AM².

Ответ задачи отсутствует